### 物理学ノート

アインシュタイン曰く

というわけで、よく使われるが、すぐ忘れてしまう公式などを覚えないで済むよう、メモとして残す。

#### 記号

ここで使う記号は慣用的なもので厳密ではない。1つの記号を別の意味で使うこともある。

アルファベット

$A: 振幅、面積$ $e: 熱効率$ $f: 振動数$ $F: 力$ $g: 重力加速度$ $h: 高さ$ $I: 慣性モーメント$ $k: ばね定数$ $K: 運動エネルギー$ $L: 角運動量、幅、リットル$ $m: 質量、ミリ$ $n: 整数$ $P: 圧力$ $Q_{C}: 低温源が受け取った熱量$ $Q_{H}: 高温源から与えた熱量$ $r: 半径$ $T: 周期$ $T_{C}: 低温源$ $T_{H}: 高温源$ $v: 速度$ $V: 体積$ $W: 重量、仕事$

ギリシャ文字 $\lambda: 波長$ $\omega: 角速度$ $\rho: 密度$ $\tau: トルク$

#### 単位

$Hz: ヘルツ$ $J: ジュール$ $\frac {N} {m}: ニュートン毎メートル$ $Pa: パスカル$

#### Torque and Angular momentum

$\alpha = \frac {\Sigma{\tau}} {I}$

$\omega = \omega_{0} + \alpha t$ $\Delta \theta = (\frac {\omega + \omega_{0}} {2})t$ $\Delta \theta = (\frac {\omega_{0} + \alpha t + \omega_{0}} {2})t$ $\Delta \theta = (\frac {2\omega_{0} + \alpha t} {2})t$ $\Delta \theta = \omega_{0}t + \frac {1} {2} \alpha t^{2}$ $\omega^{2} = (\omega_{0} + \alpha t)^{2}$ $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\omega_{0}\alpha t + \alpha^{2}t^{2}$ $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\alpha(\omega_{0}t + \frac {1} {2} \alpha t^{2})$ $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\alpha \Delta \theta$ $2\alpha \Delta \theta = \omega^{2} - \omega_{0}^{2}$ $\alpha = \frac {\omega^{2} - \omega_{0}^{2}} {2\Delta \theta}$

トルク

$\tau = rF$ $\tau = rF\sin{\theta}$

$I = mr^{2}$ $I = \frac {1} {2} mr^{2}$ $I = \frac {2} {5} mr^{2}$ $I = \frac {1} {3} mr^{2}$

エネルギー保存の法則

$mgh = \frac {1} {2} mv^{2} + \frac {1} {2} I\omega^{2}$

$v = r\omega$

$L = mvr$ $L = I\omega$

$K = \frac {1} {2} mv^{2}$ $K = \frac {1} {2} I\omega^{2}$

#### Oscillations and mechanical waves

$x(t) = A\sin{\frac {2\pi} {T}t}$

$T = 2\pi \sqrt{\frac {m} {k}}$ $T = 2\pi \sqrt{\frac {L} {g}}$

ばね定数

$k = \frac {(4\pi^{2})m} {T^{2}}$

$v = \lambda f$

$f = \frac {v} {\lambda}$

$\lambda = \frac {2L} {n} (節と節、腹と腹)$

$\lambda = \frac {4L} {n} (節と腹)$

#### Fluids

$P = \frac {F} {A}$ $P = \rho gh$

$\rho = \frac {m} {V}$

$W = mg$

$P_{atm} = 1.01 \times 10^{5} Pa$

$F_{B} = \rho_{fluid} Vg$

$1Pa * 1L = 1mJ$

ベルヌーイの定理

$P_1 + \frac {1} {2} \rho v_1^{2} + \rho gh_1 = P_2 + \frac {1} {2} \rho v_2^{2} + \rho gh_2$

$e = \frac {W} {Q_{H}}$

$e = 1 - \frac {T_{C}} {T_{H}}$

#### 記号

アルファベット

$G: 万有引力定数$ $I: 運動量$ $M: 力のモーメント、質量$ $p: 運動量$ $P: 仕事率$ $r: 距離$ $s: 距離$ $t: 時間$ $U: 位置エネルギー$ $v_0: 初速度$ $W: 仕事$ $x: ばねの伸び縮みの長さ$ $y: 変位$

ギリシャ文字 $\alpha: 加速度$ $\theta: 角$

#### 単位

$kW: キロワット$ $\frac {m} {s}: メートル毎秒$ $\frac {m} {s^{2}}: メートル毎秒毎秒$ $N: ニュートン$ $rad: ラジアン$ $\frac {rad} {s}: ラジアン毎秒$ $\frac {rad} {s^{2}}: ラジアン毎秒毎秒$ $s: 秒$ $W: ワット$

#### 力学

$a = \frac {M} {I}$

$v = v_0 + at$

$y = \frac {1} {2} gt^{2}$ $v^2 = 2gy$

$m\vec{a} = \vec{F}$

$W = Fs$

$P = \frac {W} {t}$

$U = \frac {1} {2} kx^{2}$

$\vec{p} = m\vec{v}$

$\vec{I} = \vec{F}\Delta t$

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_1'} + m_2\vec{v_2'}$

$\omega = \frac {\theta} {t}$

$a = \frac {v^{2}} {r}$

$F = G \frac {Mm} {r^{2}}$

(2017/02/23更新)

### 数学ノート

アインシュタイン曰く

というわけで、よく使われるが、すぐ忘れてしまう公式などを覚えないで済むよう、メモとして残す。

#### 式の計算

$\frac {x - 25} {x^{2} + 5x - 24}$ $= \frac {x - 25} {(x - 3)(x + 8)}$ $= \frac {A} {x - 3} + \frac {B} {x + 8}$ $= \frac {A(x + 8)+B(x - 3)} {(x - 3)(x + 8)}$ $= \frac {Ax + 8A + Bx - 3B} {(x - 3)(x + 8)}$ $A + B = 1$ $8A - 3B = -25$ $8A - 3B + 3A + 3B = -25 + 3$ $11A = -22$ $A = -2$ $-2 + B = 1$ $B = 1 + 2$ $B = 3$ $\frac {x - 25} {x^{2} + 5x - 24} = \frac {-2} {x - 3} + \frac {3} {x + 8}$

#### 図形

$h = \sqrt {\frac {2} {3}} a$

$\triangle ABC, \angle DAB = \angle DAC \Rightarrow \frac {AB} {BD} = \frac {AC} {CD}$

$S = 4\pi r^{2}$

#### 論理

イプシロン-デルタ論法

$\forall \varepsilon \gt 0, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \mbox{s.t.} \ n > N \Rightarrow |a_n - L| \lt \varepsilon$

#### 三角関数

$\sin{\theta} = \sin{(180^{\circ}-\theta)}$

$\sin{\theta} = \sin{(-180^{\circ}-\theta)}$

$\cos{\theta} = \cos{(-\theta)}$

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

シヌソイドの中間線

$f(x) = a\sin(bx + c) + d$

#### 数列

$S_n = \frac {a_1(1 - r ^ n)} {1 - r}$

$a_n = S_{n} - S_{n-1}$

$b < c, \ \frac {1} {(ax+b)(ax+c)} = \frac {1} {(c-b)(ax+b)} - \frac {1} {(c-b)(ax+c)}$

$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac {a} {1 - r}$

テイラー展開

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(a)} {n!}(x - a)^n$

マクローリン展開

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(0)} {n!}x^n$

sin(x)のテイラー展開

$\sin(x) = x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^7} {7!} + ...$

cos(x)のテイラー展開

$\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n)!} x^{2n}$

$\cos(x) = 1 - \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} - \frac {x^6} {6!} + ...$

tan(x)のテイラー展開

$\tan(x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} + ...$

arctan(x)のテイラー展開

$\arctan(x) = x - \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} - \frac {x^7} {7}...$

e^xのテイラー展開

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!}$

#### 極限

$\lim_{x \to 0} \frac {\cos(x) - 1} {x} = 0$

ロピタルの定理

$\lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim_{x \to a} \frac {f'(x)} {g'(x)}$

#### 微分

$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$

tan(x)の微分

$(\tan(x))' = \frac {1} {\cos^2(x)}$

sec(x)の微分

$(\sec(x))' = \sec(x)\tan(x)$

csc(x)の微分

$(\csc(x))' = -\cot(x)\csc(x)$

cot(x)の微分

$(\cot(x))' = -\csc^2(x)$

arcsin(x)の微分

$(\arcsin(x))' = \frac {1} {\sqrt{1 - x^2}}$

arccos(x)の微分

$(\arccos(x))' = -\frac {1} {\sqrt{1 - x^2}}$

arctan(x)の微分

$(\arctan(x))' = \frac {1} {1 + x^2}$

log_a(x)の微分

$(\log_{a}(x))' = \frac {1} {x\log{a}}$

log(x)の微分

$(\log(x))' = \frac {1} {x}$

e^axの微分

$(e^{ax})' = ae^{ax}$

e^x^2の微分

$(e^{x^{2}})' = 2xe^{x^{2}}$

dy/dxの計算例

$2xy + x^3 - 3y^2 = 5$

$\frac {d} {dx} (2xy + x^3 - 3y^2) = \frac {d} {dx} (5)$

$\frac {d} {dx} (2xy) + \frac {d} {dx} (x^3) - \frac {d} {dx} (3y^2) = \frac {d} {dx} (5)$

$\frac {d} {dx} (2xy) + 3x^2 - \frac {d} {dx} (3y^2) = 0$

$2\frac {d} {dx} (xy) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0$

$2(\frac {d} {dx} (x) * \frac {d} {dx} (y)) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0$

$2(1 * y + x * 1 \frac {dy} {dx}) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0$

$2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0$

$2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (1 * y^2) = 0$

$2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (x^0 * y^2) = 0$

$2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3(\frac {d} {dx} (x^0) * \frac {d} {dx} (y^2)) = 0$

$2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3((0 * y^2) + (x^0 * 2y \frac {dy} {dx})) = 0$

$2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3((0 * y^2) + (1 * 2y \frac {dy} {dx})) = 0$

$2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3(0 + 2y \frac {dy} {dx}) = 0$

$2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 6y \frac {dy} {dx} = 0$

$2y + 3x^2 + 2x \frac {dy} {dx} - 6y \frac {dy} {dx} = 0$

$2y + 3x^2 + (2x - 6y) \frac {dy} {dx} = 0$

$(2x - 6y) \frac {dy} {dx} = -(2y + 3x^2)$

$\frac {dy} {dx} = -\frac {2y + 3x^2} {2x - 6y}$

#### 積分

sin(ax)の積分

$\int \sin(ax) dx = -\frac {1} {a} \cos(ax) + C$

sec^2(x)の積分

$\int \sec^2(x) dx = \tan(x) + C$

csc^2(x)の積分

$\int \csc^2(x) dx = -\cot(x) + C$

e^axの積分

$\int e^{ax} dx = \frac {e^{ax}} {a} + C$

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

ｙ軸周りの回転体の体積（バームクーヘン積分）

$V = 2\pi\int_a^b x f(x) dx$

$\frac {1} {b - a} \int_a^b f(x) dx$

$\int \frac {f'(x)} {f(x)} dx = \log |f(x)| + C$

$A = \int_\alpha^\beta \frac {1} {2} r^2 d\theta$

リーマン積分

$\int_a^b \sin(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sin \left(\frac {b - a} {n} i\right)\cdot \frac {b - a} {n}$

#### 複素数平面

$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$\theta = \arctan \left ( \frac {b} {a} \right )$

$a = |z|\cos{\theta}$

$b = |z|\sin{\theta}$

(2017/02/23更新)