物理学ノート

アインシュタイン曰く

本やノートに書いてあることをどうして憶えておかなければならないのかね?

というわけで、よく使われるが、すぐ忘れてしまう公式などを覚えないで済むよう、メモとして残す。

随時追加する。

記号

ここで使う記号は慣用的なもので厳密ではない。1つの記号を別の意味で使うこともある。

アルファベット

\[ A: 振幅、面積 \] \[ e: 熱効率 \] \[ f: 振動数 \] \[ F: 力 \] \[ g: 重力加速度 \] \[ h: 高さ \] \[ I: 慣性モーメント \] \[ k: ばね定数 \] \[ K: 運動エネルギー \] \[ L: 角運動量、幅、リットル \] \[ m: 質量、ミリ \] \[ n: 整数 \] \[ P: 圧力 \] \[ Q_{C}: 低温源が受け取った熱量 \] \[ Q_{H}: 高温源から与えた熱量 \] \[ r: 半径 \] \[ T: 周期 \] \[ T_{C}: 低温源 \] \[ T_{H}: 高温源 \] \[ v: 速度 \] \[ V: 体積 \] \[ W: 重量、仕事 \]

ギリシャ文字 \[ \lambda: 波長 \] \[ \omega: 角速度 \] \[ \rho: 密度 \] \[ \tau: トルク \]

単位

\[ Hz: ヘルツ \] \[ J: ジュール \] \[ \frac {N} {m}: ニュートン毎メートル \] \[ Pa: パスカル \]

Torque and Angular momentum

角加速度

\[ \alpha = \frac {\Sigma{\tau}} {I} \]

角加速度の計算

\[ \omega = \omega_{0} + \alpha t \] \[ \Delta \theta = (\frac {\omega + \omega_{0}} {2})t \] \[ \Delta \theta = (\frac {\omega_{0} + \alpha t + \omega_{0}} {2})t \] \[ \Delta \theta = (\frac {2\omega_{0} + \alpha t} {2})t \] \[ \Delta \theta = \omega_{0}t + \frac {1} {2} \alpha t^{2} \] \[ \omega^{2} = (\omega_{0} + \alpha t)^{2} \] \[ \omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\omega_{0}\alpha t + \alpha^{2}t^{2} \] \[ \omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\alpha(\omega_{0}t + \frac {1} {2} \alpha t^{2}) \] \[ \omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\alpha \Delta \theta \] \[ 2\alpha \Delta \theta = \omega^{2} - \omega_{0}^{2} \] \[ \alpha = \frac {\omega^{2} - \omega_{0}^{2}} {2\Delta \theta} \]

トルク

\[ \tau = rF \] \[ \tau = rF\sin{\theta} \]

慣性モーメント

\[ I = mr^{2} \] \[ I = \frac {1} {2} mr^{2} \] \[ I = \frac {2} {5} mr^{2} \] \[ I = \frac {1} {3} mr^{2} \]

エネルギー保存の法則

\[ mgh = \frac {1} {2} mv^{2} + \frac {1} {2} I\omega^{2} \]

速度

\[ v = r\omega \]

角運動量

\[ L = mvr \] \[ L = I\omega \]

運動エネルギー

\[ K = \frac {1} {2} mv^{2} \] \[ K = \frac {1} {2} I\omega^{2} \]

Oscillations and mechanical waves

波の位置

\[ x(t) = A\sin{\frac {2\pi} {T}t} \]

水平ばね振り子の周期

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac {m} {k}} \] \[ T = 2\pi \sqrt{\frac {L} {g}} \]

ばね定数

\[ k = \frac {(4\pi^{2})m} {T^{2}} \]

速度

\[ v = \lambda f \]

振動数

\[ f = \frac {v} {\lambda} \]

波長(定常波)

\[ \lambda = \frac {2L} {n} (節と節、腹と腹) \]

\[ \lambda = \frac {4L} {n} (節と腹) \]

Fluids

圧力

\[ P = \frac {F} {A} \] \[ P = \rho gh \]

密度

\[ \rho = \frac {m} {V} \]

重量

\[ W = mg \]

大気圧

\[ P_{atm} = 1.01 \times 10^{5} Pa \]

浮力

\[ F_{B} = \rho_{fluid} Vg \]

気体の仕事

\[ 1Pa * 1L = 1mJ \]

ベルヌーイの定理

\[ P_1 + \frac {1} {2} \rho v_1^{2} + \rho gh_1 = P_2 + \frac {1} {2} \rho v_2^{2} + \rho gh_2 \]

熱効率

\[ e = \frac {W} {Q_{H}} \]

\[ e = 1 - \frac {T_{C}} {T_{H}} \]

記号

アルファベット

\[ G: 万有引力定数 \] \[ I: 運動量 \] \[ M: 力のモーメント、質量 \] \[ p: 運動量 \] \[ P: 仕事率 \] \[ r: 距離 \] \[ s: 距離 \] \[ t: 時間 \] \[ U: 位置エネルギー \] \[ v_0: 初速度 \] \[ W: 仕事 \] \[ x: ばねの伸び縮みの長さ \] \[ y: 変位 \]

ギリシャ文字 \[ \alpha: 加速度 \] \[ \theta: 角 \]

単位

\[ kW: キロワット \] \[ \frac {m} {s}: メートル毎秒 \] \[ \frac {m} {s^{2}}: メートル毎秒毎秒 \] \[ N: ニュートン \] \[ rad: ラジアン \] \[ \frac {rad} {s}: ラジアン毎秒 \] \[ \frac {rad} {s^{2}}: ラジアン毎秒毎秒 \] \[ s: 秒 \] \[ W: ワット \]

力学

加速度

\[ a = \frac {M} {I} \]

等加速度直線運動

\[ v = v_0 + at \]

自由落下運動

\[ y = \frac {1} {2} gt^{2} \] \[ v^2 = 2gy \]

運動方程式

\[ m\vec{a} = \vec{F} \]

仕事

\[ W = Fs \]

仕事率

\[ P = \frac {W} {t} \]

弾性力による位置エネルギー

\[ U = \frac {1} {2} kx^{2} \]

運動量

\[ \vec{p} = m\vec{v} \]

力積

\[ \vec{I} = \vec{F}\Delta t \]

運動量保存の法則

\[ m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_1'} + m_2\vec{v_2'} \]

角速度

\[ \omega = \frac {\theta} {t} \]

等速円運動の加速度

\[ a = \frac {v^{2}} {r} \]

万有引力

\[ F = G \frac {Mm} {r^{2}} \]

(2017/02/23更新)

数学ノート

アインシュタイン曰く

本やノートに書いてあることをどうして憶えておかなければならないのかね?

というわけで、よく使われるが、すぐ忘れてしまう公式などを覚えないで済むよう、メモとして残す。

随時追加する。

式の計算

部分分数分解の計算例

\[ \frac {x - 25} {x^{2} + 5x - 24} \] \[ = \frac {x - 25} {(x - 3)(x + 8)} \] \[ = \frac {A} {x - 3} + \frac {B} {x + 8} \] \[ = \frac {A(x + 8)+B(x - 3)} {(x - 3)(x + 8)} \] \[ = \frac {Ax + 8A + Bx - 3B} {(x - 3)(x + 8)} \] \[ A + B = 1 \] \[ 8A - 3B = -25 \] \[ 8A - 3B + 3A + 3B = -25 + 3 \] \[ 11A = -22 \] \[ A = -2 \] \[ -2 + B = 1 \] \[ B = 1 + 2\] \[ B = 3 \] \[ \frac {x - 25} {x^{2} + 5x - 24} = \frac {-2} {x - 3} + \frac {3} {x + 8} \]

図形

正四面体の高さ

\[ h = \sqrt {\frac {2} {3}} a \]

角の二等分線定理

\[ \triangle ABC, \angle DAB = \angle DAC \Rightarrow \frac {AB} {BD} = \frac {AC} {CD} \]

球の表面積

\[ S = 4\pi r^{2} \]

放物線の方程式の計算例

\[ 焦点: (-8, -1) \] \[ 准線: y = -4 \] \[ 焦点との距離: \sqrt{(x + 8)^{2} + (y + 1)^{2}} \] \[ 准線との距離: \sqrt{(y + 4)^{2}} \] \[ \sqrt{(y + 4)^{2}} = \sqrt{(x + 8)^{2} + (y + 1)^{2}} \] \[ (y + 4)^{2} = (x + 8)^{2} + (y + 1)^{2} \] \[ y^{2} + 8y + 16 = (x + 8)^{2} + y^{2} + 2y + 1 \] \[ y^{2} -y^{2} + 8y - 2y = (x + 8)^{2} + 1 - 16 \] \[ 6y = (x + 8)^{2} - 15 \] \[ y = \frac {(x + 8)^{2}} {6} - \frac{15} {6} \] \[ y = \frac {(x + 8)^{2}} {6} - \frac{5} {2} \]

楕円の焦点

\[ \frac {x^{2}} {a^{2}} + \frac {y^{2}} {b^{2}} = 1 \ (a > b > 0) \] \[ 焦点: (\pm \sqrt{a^{2} - b^{2}}, 0) \] \[ \frac {x^{2}} {a^{2}} + \frac {y^{2}} {b^{2}} = 1 \ (b > a > 0) \] \[ 焦点: (0, \pm \sqrt{b^{2} - a^{2}}) \]

双曲線の焦点

\[ \frac {x^{2}} {a^{2}} - \frac {y^{2}} {b^{2}} = 1 \] \[ 焦点: (\pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, 0) \] \[ \frac {y^{2}} {a^{2}} - \frac {x^{2}} {b^{2}} = 1 \] \[ 焦点: (0, \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}) \]

論理

イプシロン-デルタ論法

\[ \forall \varepsilon \gt 0, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \mbox{s.t.} \ n > N \Rightarrow |a_n - L| \lt \varepsilon \]

対数

底の変換

\[ \log_b(a) = \frac {\log_x(a)} {\log_x(b)} \]

三角関数

三角関数の関係

\[ \csc{\theta} = \frac {1} {\sin{\theta}} \] \[ \cot{\theta} = \frac {1} {\tan{\theta}} \]

三角関数の性質

\[ \sin{\theta} = \sin{(180^{\circ}-\theta)} \]

\[ \sin{\theta} = \sin{(-180^{\circ}-\theta)} \]

\[ \cos{\theta} = \cos{(-\theta)} \]

加法定理

\[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \]

\[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \]

余弦定理

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \]

ラジアン

\[ \frac {180 ^ {\circ}} {\pi} = 1rad \]

シヌソイドの中間線

\[ f(x) = a\sin(bx + c) + d \]

数列

数列の和

\[ S_n = \frac {a_1(1 - r ^ n)} {1 - r} \]

数列の計算

\[ a_n = S_{n} - S_{n-1} \]

分数の数列の和

分数を以下のように変換する。

\[ b < c, \ \frac {1} {(ax+b)(ax+c)} = \frac {1} {(c-b)(ax+b)} - \frac {1} {(c-b)(ax+c)} \]

無限級数

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac {a} {1 - r} \]

テイラー展開

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(a)} {n!}(x - a)^n \]

マクローリン展開

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(0)} {n!}x^n \]

sin(x)のテイラー展開

\[ \sin(x) = x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^7} {7!} + ... \]

cos(x)のテイラー展開

\[ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n)!} x^{2n} \]

\[ \cos(x) = 1 - \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} - \frac {x^6} {6!} + ... \]

tan(x)のテイラー展開

\[ \tan(x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} + ... \]

arctan(x)のテイラー展開

\[ \arctan(x) = x - \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} - \frac {x^7} {7}... \]

e^xのテイラー展開

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!} \]

極限

様々な極限

\[ \lim_{x \to 0} \frac {\cos(x) - 1} {x} = 0 \]

ロピタルの定理

\[ \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim_{x \to a} \frac {f'(x)} {g'(x)} \]

微分

合成関数の微分

\[ (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x) \]

tan(x)の微分

\[ (\tan(x))' = \frac {1} {\cos^2(x)} \]

sec(x)の微分

\[ (\sec(x))' = \sec(x)\tan(x) \]

csc(x)の微分

\[ (\csc(x))' = -\cot(x)\csc(x) \]

cot(x)の微分

\[ (\cot(x))' = -\csc^2(x) \]

arcsin(x)の微分

\[ (\arcsin(x))' = \frac {1} {\sqrt{1 - x^2}} \]

arccos(x)の微分

\[ (\arccos(x))' = -\frac {1} {\sqrt{1 - x^2}} \]

arctan(x)の微分

\[ (\arctan(x))' = \frac {1} {1 + x^2} \]

a^xの微分

\[ (a^{x})' = a^{x} \ln(a) \]

log_a(x)の微分

\[ (\log_{a}(x))' = \frac {1} {x\ln(a)} \]

ln(x)の微分

\[ (\ln(x))' = \frac {1} {x} \]

e^axの微分

\[ (e^{ax})' = ae^{ax} \]

e^x^2の微分

\[ (e^{x^{2}})' = 2xe^{x^{2}} \]

dy/dxの計算例

\[ 2xy + x^3 - 3y^2 = 5 \] \[ \frac {d} {dx} (2xy + x^3 - 3y^2) = \frac {d} {dx} (5) \] \[ \frac {d} {dx} (2xy) + \frac {d} {dx} (x^3) - \frac {d} {dx} (3y^2) = \frac {d} {dx} (5) \] \[ \frac {d} {dx} (2xy) + 3x^2 - \frac {d} {dx} (3y^2) = 0 \] \[ 2\frac {d} {dx} (xy) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \] \[ 2(\frac {d} {dx} (x) * \frac {d} {dx} (y)) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \] \[ 2(1 * y + x * 1 \frac {dy} {dx}) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (1 * y^2) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (x^0 * y^2) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3(\frac {d} {dx} (x^0) * \frac {d} {dx} (y^2)) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3((0 * y^2) + (x^0 * 2y \frac {dy} {dx})) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3((0 * y^2) + (1 * 2y \frac {dy} {dx})) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3(0 + 2y \frac {dy} {dx}) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 6y \frac {dy} {dx} = 0 \] \[ 2y + 3x^2 + 2x \frac {dy} {dx} - 6y \frac {dy} {dx} = 0 \] \[ 2y + 3x^2 + (2x - 6y) \frac {dy} {dx} = 0 \] \[ (2x - 6y) \frac {dy} {dx} = -(2y + 3x^2) \] \[ \frac {dy} {dx} = -\frac {2y + 3x^2} {2x - 6y} \]

定積分の微分の計算例

\[ (\int_{0}^{x ^ {2}} \sin(t) dt)' \] \[ = \frac {d} {dx} \int_{0} ^ {x ^ {2}} \sin(t) dt \] \[ = \sin(x ^ {2}) \cdot \frac {d} {dx} (x ^ {2}) \] \[ = \sin(x ^ {2}) \cdot 2x \] \[ = 2x \sin(x ^ {2}) \]

オイラー法

\[ y_{n+1}= y_{n} + \Delta y_{n} \]

積分

sin(ax)の積分

\[ \int \sin(ax) dx = -\frac {1} {a} \cos(ax) + C \]

sec^2(ax)の積分

\[ \int \sec^2(ax) dx = \frac {1} {a} \tan(ax) + C \]

csc^2(x)の積分

\[ \int \csc^2(x) dx = -\cot(x) + C \]

e^axの積分

\[ \int e^{ax} dx = \frac {e^{ax}} {a} + C \]

1 / (1 + x^2)の積分

\[ \int \frac {1} {1 + x ^ {2}} dx = \tan ^ {-1}(x) + C \]

曲線の長さ

\[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]

y軸周りの回転体の体積(バームクーヘン積分)

\[ V = 2\pi\int_a^b x f(x) dx \]

関数の平均値

\[ \frac {1} {b - a} \int_a^b f(x) dx \]

分数関数の積分

\[ \int \frac {f'(x)} {f(x)} dx = \log |f(x)| + C \]

分数関数の積分の計算例

\[ \int \frac {a} {b(x + c)} dx = \frac {a \ln |x + c|} {b} + C \]

放物線の積分

\[ A = \int_\alpha^\beta \frac {1} {2} r^2 d\theta \]

リーマン積分

\[ \int_a^b \sin(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sin \left(\frac {b - a} {n} i\right)\cdot \frac {b - a} {n} \]

置換積分の計算例

\[ \int \frac {x} {\sqrt{16 - x ^ 2}} dx \] \[ u = 16 - x ^ 2 \] \[ \frac {du} {dx} = -2x \] \[ -\frac {du} {2x} = dx \] \[ \int \frac {x} {\sqrt{u}} \cdot (-\frac {du} {2x}) \] \[ = -\int \frac {1} {2\sqrt{u}} du \] \[ = -\int \frac {1} {2} u ^ {-\frac {1} {2}} du \] \[ = -u ^ {\frac {1} {2}} + C \] \[ = -\sqrt{u} + C \] \[ = -\sqrt{16 - x ^ 2} + C \]

部分積分の計算例

\[ \int x \cos(\pi x) dx \] \[ \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx \] \[ \int u dv = uv - \int v du \] \[ u = x, dv = \cos(\pi x) dx \] \[ du = dx, v = \int \cos(\pi x) dx = \frac {\sin(\pi x)} {\pi} \] \[ \int x \cos(\pi x) dx \] \[ = \frac {x \sin(\pi x)} {\pi} - \int \frac {\sin(\pi x)} {\pi} dx \] \[ = \frac {x \sin(\pi x)} {\pi} - \frac {1} {\pi} \left( -\frac {\cos(\pi x )} {\pi} \right) + C \] \[ = \frac {x \sin(\pi x)} {\pi} + \frac {\cos(\pi x)} {\pi ^ 2} + C \]

微分方程式

微分方程式の計算例

\[ \frac {dy} {dt} = 3y \] \[ \frac {dy} {y} = 3 dt \] \[ \int \frac {dy} {y} = \int 3 dt \] \[ \int \frac {1} {y} dy = \int 3 dt \] \[ \ln |y| = 3t + C \]

分離可能な微分方程式の形

\[ \frac {dy} {dx} = g(x) \cdot h(y) \] \[ \frac {1} {h(y)} dy = g(x) dx \]

複素数

長方形の計算例

\[ |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \]

\[ \theta = \arctan \left ( \frac {b} {a} \right )\ \]

\[ a = |z|\cos{\theta} \]

\[ b = |z|\sin{\theta} \]

偏角

\[ \tan{\theta} = \frac {Im(z)} {Re(z)} \]

複素数の積

\[ z_{1} = r_{1}[\cos{(\theta_{1})} + i \sin{(\theta_{1})}], \ z_{2} = r_{2}[\cos{(\theta_{2})} + i \sin{(\theta_{2})}] \] \[ z_{1} \cdot z_{2} = r_{1}r_{2}[\cos{(\theta_{1} + \theta_{2})} + i \sin{(\theta_{1} + \theta_{2})}] \]

複素数の商

\[ z_{1} = r_{1}[\cos{(\theta_{1})} + i \sin{(\theta_{1})}], \ z_{2} = r_{2}[\cos{(\theta_{2})} + i \sin{(\theta_{2})}] \] \[ \frac {z_{1}} {z_{2}} = \frac {r_{1}} {r_{2}}[\cos{(\theta_{1} - \theta_{2})} + i \sin{(\theta_{1} - \theta_{2})}] \]

複素数のn乗根の計算例

\[ z^{3} = -512, \ 270^{\circ} \le \theta \le 360^{\circ} \] \[ z^{3} = r^{3}[\cos{(3 \cdot \theta)} + i \sin{(3 \cdot \theta)}] \] \[ r^{3}[\cos{(3 \cdot \theta)} + i \sin{(3 \cdot \theta)}] = 512[\cos{(180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ})} + i \sin{(180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ})}]\] \[ r^{3} = 512 \] \[ r = 8 \] \[ 3 \cdot \theta = 180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \] \[ \theta = 60^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \] \[ \ 270^{\circ} \le \theta \le 360^{\circ} \] \[ \theta = 300^{\circ} \] \[ z = r[\cos{(\theta)} + i \cdot \sin{(\theta)}] \] \[ z = 8[\cos{(300^{\circ})} + i \cdot \sin{(300^{\circ})}] \] \[ z = 8\cos{(300^{\circ})} + 8\sin{(300^{\circ})} \cdot i \] \[ z = 4 - 6.928i \]

行列

2×2行列の逆行列

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \] \[ A^{-1} = \frac {1} {ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

(2017/03/24更新)