順張り逆張り、利食い損切り、ナンピンについて

順張りは正しいが、逆張りは間違っている、といった主張を時々見かける。また、遅く利食い、早く損切りするのは正しいが、早く利食い、遅く損切りするのは間違っている、といった主張も時々見かける。さらにナンピンは間違っている、といった主張も時々見かける。果たしてそうなのか。

それらについて私なりの考えをまとめてみた。あくまでも私の見方であって、これが正しいと主張するつもりはない。

順張りとは

順張りとは上がれば買い、下がれば売ることである。

逆張りとは

逆張りとは下がれば買い、上がれば売ることである。

どのようなとき、順張りは正当化されるか

上がればさらに上がる、下がればさらに下がるとトレーダーが判断しているとき、つまり順張り有利と判断しているとき、順張りは正当化される。その判断が正しいかいなかは問わない。

トレーダーが順張り有利と判断しているとき、上がれば買い、下がれば売るのは例え損失という結果をもたらしたとしても合理的な行動である。

トレーダーが順張り有利と判断しているとき、上がれば売り、下がれば買うのは例え利益という結果をもたらしたとしても合理的な行動ではない。

どのようなとき、逆張りは正当化されるか

下がれば反転して上がる、上がれば反転して下がるとトレーダーが判断しているとき、つまり逆張り有利と判断しているとき、逆張りは正当化される。その判断が正しいかいなかは問わない。

トレーダーが逆張り有利と判断しているとき、下がれば買い、上がれば売るのは例え損失という結果をもたらしたとしても合理的な行動である。

トレーダーが逆張り有利と判断しているとき、下がれば売り、上がれば買うのは例え利益という結果をもたらしたとしても合理的な行動ではない。

利食いとは

利食いとは損益が利益となっている状態でエグジットすることである。

損切りとは

損切りとは損益が損失となっている状態でエグジットすることである。

どのようなとき、利食いは正当化されるか

順張りで買って上がったとき、トレーダーはさらに上がると予想すべきだから、ここで利食うのは合理的な行動ではなく、正当化されない。

順張りで売って下がったとき、トレーダーはさらに下がると予想すべきだから、ここで利食うのは合理的な行動ではなく、正当化されない。

逆張りで買って上がったとき、トレーダーは反転して下がると予想すべきだから、ここで利食うのは合理的な行動であり、正当化される。

逆張りで売って下がったとき、トレーダーは反転して上がると予想すべきだから、ここで利食うのは合理的な行動であり、正当化される。

どのようなとき、損切りは正当化されるか

順張りで買って下がったとき、トレーダーはさらに下がると予想すべきだから、ここで損切るのは合理的な行動であり、正当化される。

順張りで売って上がったとき、トレーダーはさらに上がると予想すべきだから、ここで損切るのは合理的な行動であり、正当化される。

逆張りで買って下がったとき、トレーダーは反転して上がると予想すべきだから、ここで損切るのは合理的な行動ではなく、正当化されない。

逆張りで売って上がったとき、トレーダーは反転して下がると予想すべきだから、ここで損切るのは合理的な行動ではなく、正当化されない。

どのようなとき、順張りの利食いは正当化されるか

順張りで買って上がり、かつ順張り有利から逆張り有利へのレジームスイッチが発生したと判断したとき、トレーダーは反転して下がると予想すべきだから、ここで利食うのは合理的な行動であり、正当化される。

順張りで売って下がり、かつ順張り有利から逆張り有利へのレジームスイッチが発生したと判断したとき、トレーダーは反転して上がると予想すべきだから、ここで利食うのは合理的な行動であり、正当化される。

どのようなとき、逆張りの損切りは正当化されるか

逆張りで買って下がり、かつ逆張り有利から順張り有利へのレジームスイッチが発生したと判断したとき、トレーダーはさらに下がると予想すべきだから、ここで損切るのは合理的な行動であり、正当化される。

逆張りで売って上がり、かつ逆張り有利から順張り有利へのレジームスイッチが発生したと判断したとき、トレーダーはさらに上がると予想すべきだから、ここで損切るのは合理的な行動であり、正当化される。

ナンピンとは

ナンピンとは買った後に下がったら更に買い増し、売った後に上がったら更に売り増すことである。

どのようなとき、ナンピンは正当化されるか

トレーダーが逆張り有利と判断しているとき、ナンピンは正当化される。その判断が正しいかいなかは問わない。

トレーダーが順張り有利と判断しているとき、ナンピンは正当化されない。

買ったら下がってしまい、売ったら上がってしまって含み損を抱え、逆張り有利という判断もなく、ただ反転することを祈っているだけのとき、ナンピンは正当化されない。

(2016/11/29更新)

Khan Academyの学び方

最近、Khan Academyを始めた。

別に学び方など説明するまでもなく、とても簡単で、ただやればいいだけの話ではある。だが、このサイトが気に入ったので、より多くの人に知ってもらいたいということで記事を書く。

登録

Khan Academyのコンテンツは登録しなくても利用できる。しかし、登録したほうが学習の進展具合が把握できていい。

GmailやFacebookのアカウントを持っていれば、それでログインすることもできるようだが、私はメールでKhan Academyのアカウントを作成した。

①以下のアドレスをクリックする。

https://www.khanacademy.org/

②右上隅の「Sign in / Sign up」をクリックする。

③「Create a new account.」をクリックする。

④「Sign up with email」をクリックする。

⑤「Start learning on Khan Academy」で「First name」、「Last name」、「Email」に入力し、「Birthdate」で月、日、年を選択する。

⑥「Sign up」ボタンをクリックする。

⑦登録したメールアドレスに確認メールが届くので確認のためのリンクをクリックする。

ここは記憶に頼った手順だが、多分そんな感じ。あと、ユーザー名とパスワードの設定もあった。

ログイン

①以下のアドレスをクリックする。

https://www.khanacademy.org/

②右上隅の「Sign in / Sign up」をクリックする。

ここまでは上の「登録」と同じ。

③「Log in to your Khan Academy account」の「Email or username」でメールアドレス、またはユーザー名を入力する。

④その下にパスワードを入力する。

⑤「Sign in」ボタンをクリックする。

ログアウト

①右上の自分の名前をクリックする。

②「Log out」をクリックする。

ミッションの選択

Khan Academyには多くのビデオ講義、問題演習があるので、自分の興味にしたがって、それらをやればいい。英語だが、ビデオによっては日本語字幕もあるらしい。

ところで、Khan Academyには文系、理系の基礎科目が幅広く用意されているが、特に数学が充実していて、数学にだけミッションというのがある。このミッションをやるのがオススメ。

私の場合、登録した翌日くらいに「Start your math mission」というメールが送られてきた。「Your chosen mission is Math」とか勝手に決められていて(笑)、「Continue learning now」というボタンをクリックしたら、そのままミッションが始まった。だが、メールが来るのを待つまでもなく、自分で始めることもできると思う。

以下はログイン後の手順。

①左上隅の「Subjects」をクリックする。

②「Math by subject」をクリックする。

③「Math」で「Mission」をクリックする。

「The World of Math」というミッションのページに移動する。これは小学校レベルから大学レベルまで、Khan Academyのすべての数学科目を網羅しているようだ。

私の場合、初めからこのミッションを与えられていたので、実は選択のやり方は分かっていないのだが、多分、ここからミッションを始めることができると思う。

「Mission Progress」に「*% progress」とあって、ミッションの進展具合を確認することができる。

私のところにメールで送られてきた「Start your math mission」によると、このミッションの所要時間は20〜40時間となっている。小学校レベルの問題はどんどん解いていけばいいが、レベルが上がってくると、ビデオ講義を見ないと分からない問題も出てくると思う。したがって、もっと時間がかかるのではないだろうか。

学習者のレベルにもよるが、2〜3倍は見ておいたほうがいいと思う。だが、仮に120時間だとしても、毎日30分勉強すれば1年以内に数学をマスターできるのだ。素晴らしいじゃないか!「自分はどうも数学が苦手で...」などというくだらない言い訳はやめて勉強を始めよう。

タスクの開始

①「MASTERY CHALLENGE」の「Start」ボタンをクリックする。

「Strengthen skills you've already practiced」と書かれているが、やったことのないスキルからの出題もある。

画面が切り替わった後、「Mastery Challenge」の右上隅に「Do all * problems」とあって、問題数が表示されている。そのすべての問題に解答して1回分のタスクが終了する。

②出題された問題に対し、入力、または選択して解答する。

計算が面倒な問題の場合、「Calculator」に関数電卓が表示されるので、それを使って計算してもいい。私は100円ショップでA4くらいのホワイトボードとホワイトボードマーカー(確か0.7ミリの細いやつ)を買ってきて、それで計算している。

解答する場合

○「Answer」で「Check Answer」ボタンをクリックする。

正解の場合、「Check Answer」ボタンが「Correct! Next question...」ボタンに変わるので、クリックして次の問題に移る。

不正解の場合は「Check Answer」ボタンのまま。

何度でも解答できるので、やり直すかスキップする。スキップのやり方は後で述べる。

ヒントを見る場合

○「Show me how」で「I'd like a hint」ボタンをクリックする。

ヒントは複数用意されている場合がある。なお、解答してからヒントを見る場合、ボタンが「Show hints ( left)」に変わっている。「」には残りのヒントの数が入っている。

関連ビデオ講義を視聴する場合

問題によっては関連ビデオ講義のリンクが貼られている場合がある。

○「Stuck? Watch a video.」で動画をクリックする。

スキップする場合

○「I haven't learned this yet.」ボタンをクリックする。

解答が終わったら

○「Check Answer」ボタンが「Awesome! Show points...」ボタンに変わるので、クリックして成績を見る。

成績の見方

出題されたスキルに対する学習者のレベルは低い順から「Needs Practice」→「Level One」→「Level Two」→「Mastered」となっている。スキルによっては「Level Two」がない場合もある。すべてのスキルで「Mastered」に到達するのが目標である。

「Mastered」に到達していないスキルからの出題が中心だと思うが、「Mastered」に到達したスキルからの出題も時々ある。忘れさせないためだろうか。

ヒントなし、ビデオなし、しかも1度で正解であった場合、レベルが上がる。しかし、ヒントやビデオを見たり、不正解、スキップ、あるいは何度かやって正解であった場合、レベルは下がる。ただ、レベルが「Needs Practice」の場合は下がりようがないので据え置きとなる。

タスクを続けてやる場合は「Continue next task ⇨」ボタンをクリックする。

終了する場合は「×」ボタンをクリックする。

なお、ミッションを始めると、次回以降はログイン後の画面で「Recent missions」というのが出てくるので、「The World of Math」ボタンをクリックすれば、すぐミッションを再開できる。

アプリについて

Khan Academyにはスマートフォン、タブレット用のアプリもある。ただ、Web版と比べると、やや機能が限定されており、ミッションもできないようだ。

とはいえ、アプリの「Explore」の「Math」でビデオ講義視聴や問題演習ができる。先ず問題演習をやって、分からないことがあればビデオ講義を視聴するというようにすれば、ミッションをやったのとほぼ同内容のことができるだろう。

「Math」以外の科目も同じやり方でやるといいかもしれない。少なくとも社会人にとって多くは学生時代に学んだことの復習だ。ビデオ講義をすべて視聴する必要はないと思うが、問題演習はすべてマスターしたい。

また、Web版はスマートフォンだとページの大きさと画面の大きさが一致しないことがあって、ちょっとやりにくい。その点、アプリは大きさがちゃんと合っているし、ビデオや問題をブックマークすることができるなど、便利な機能もある。割と頻繁にアップデートが行われているようだし、今後に期待したい。

日本語版について

Khan Academyには日本語版もある。

https://ja.khanacademy.org/

英語版のすべてを網羅するまでには至っていないが、それなりに充実している。

他のMOOCとの比較

Khan Academyの教材の多くは設立者のサルマン・カーン氏自身が作成したものらしい。それだけにしっかり統一されていて、基礎的な科目が網羅的、かつ重複なく提供されている。

Cousera、Udacity、edXなどは複数の教育機関や企業から授業が提供されている。このため、同じような科目がいくつもあったり、逆に基礎的で重要と思われる科目が抜けていたりする。

もちろん、サルマン・カーン氏個人の知識には限界があるだろう。だが、マサチューセッツ工科大学で数学、電気工学を学び、ハーバード大学でMBAを取得し、ヘッジファンドでアナリストを務めていたという経歴の持ち主である。基礎的な科目については申し分あるまい。

Khan Academyは元々、サルマン・カーン氏がいとこの家庭教師をしたことがきっかけとなって発展したものだそうだ。その意味では最高の家庭教師と言えるかもしれない。

最後に

それでは多くの人が数学を得意にすることを祈る。先ずは私自身が、だが。

(2016/11/25更新)

数学ノート

アインシュタイン曰く

本やノートに書いてあることをどうして憶えておかなければならないのかね?

というわけで、よく使われるが、すぐ忘れてしまう公式などを覚えないで済むよう、メモとして残す。

随時追加する。

式の計算

部分分数分解の計算例

\[ \frac {x - 25} {x^{2} + 5x - 24} \] \[ = \frac {x - 25} {(x - 3)(x + 8)} \] \[ = \frac {A} {x - 3} + \frac {B} {x + 8} \] \[ = \frac {A(x + 8)+B(x - 3)} {(x - 3)(x + 8)} \] \[ = \frac {Ax + 8A + Bx - 3B} {(x - 3)(x + 8)} \] \[ A + B = 1 \] \[ 8A - 3B = -25 \] \[ 8A - 3B + 3A + 3B = -25 + 3 \] \[ 11A = -22 \] \[ A = -2 \] \[ -2 + B = 1 \] \[ B = 1 + 2\] \[ B = 3 \] \[ \frac {x - 25} {x^{2} + 5x - 24} = \frac {-2} {x - 3} + \frac {3} {x + 8} \]

図形

正四面体の高さ

\[ h = \sqrt {\frac {2} {3}} a \]

角の二等分線定理

\[ \triangle ABC, \angle DAB = \angle DAC \Rightarrow \frac {AB} {BD} = \frac {AC} {CD} \]

球の表面積

\[ S = 4\pi r^{2} \]

放物線の方程式の計算例

\[ 焦点: (-8, -1) \] \[ 准線: y = -4 \] \[ 焦点との距離: \sqrt{(x + 8)^{2} + (y + 1)^{2}} \] \[ 准線との距離: \sqrt{(y + 4)^{2}} \] \[ \sqrt{(y + 4)^{2}} = \sqrt{(x + 8)^{2} + (y + 1)^{2}} \] \[ (y + 4)^{2} = (x + 8)^{2} + (y + 1)^{2} \] \[ y^{2} + 8y + 16 = (x + 8)^{2} + y^{2} + 2y + 1 \] \[ y^{2} -y^{2} + 8y - 2y = (x + 8)^{2} + 1 - 16 \] \[ 6y = (x + 8)^{2} - 15 \] \[ y = \frac {(x + 8)^{2}} {6} - \frac{15} {6} \] \[ y = \frac {(x + 8)^{2}} {6} - \frac{5} {2} \]

楕円の焦点

\[ \frac {x^{2}} {a^{2}} + \frac {y^{2}} {b^{2}} = 1 \ (a > b > 0) \] \[ 焦点: (\pm \sqrt{a^{2} - b^{2}}, 0) \] \[ \frac {x^{2}} {a^{2}} + \frac {y^{2}} {b^{2}} = 1 \ (b > a > 0) \] \[ 焦点: (0, \pm \sqrt{b^{2} - a^{2}}) \]

双曲線の焦点

\[ \frac {x^{2}} {a^{2}} - \frac {y^{2}} {b^{2}} = 1 \] \[ 焦点: (\pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, 0) \] \[ \frac {y^{2}} {a^{2}} - \frac {x^{2}} {b^{2}} = 1 \] \[ 焦点: (0, \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}) \]

論理

イプシロン-デルタ論法

\[ \forall \varepsilon \gt 0, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \mbox{s.t.} \ n > N \Rightarrow |a_n - L| \lt \varepsilon \]

対数

底の変換

\[ \log_b(a) = \frac {\log_x(a)} {\log_x(b)} \]

三角関数

三角関数の関係

\[ \csc{\theta} = \frac {1} {\sin{\theta}} \] \[ \cot{\theta} = \frac {1} {\tan{\theta}} \]

三角関数の性質

\[ \sin{\theta} = \sin{(180^{\circ}-\theta)} \]

\[ \sin{\theta} = \sin{(-180^{\circ}-\theta)} \]

\[ \cos{\theta} = \cos{(-\theta)} \]

加法定理

\[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \]

\[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \]

余弦定理

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \]

ラジアン

\[ \frac {180 ^ {\circ}} {\pi} = 1rad \]

シヌソイドの中間線

\[ f(x) = a\sin(bx + c) + d \]

数列

数列の和

\[ S_n = \frac {a_1(1 - r ^ n)} {1 - r} \]

数列の計算

\[ a_n = S_{n} - S_{n-1} \]

分数の数列の和

分数を以下のように変換する。

\[ b < c, \ \frac {1} {(ax+b)(ax+c)} = \frac {1} {(c-b)(ax+b)} - \frac {1} {(c-b)(ax+c)} \]

無限級数

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac {a} {1 - r} \]

テイラー展開

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(a)} {n!}(x - a)^n \]

マクローリン展開

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(0)} {n!}x^n \]

sin(x)のテイラー展開

\[ \sin(x) = x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^7} {7!} + ... \]

cos(x)のテイラー展開

\[ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n)!} x^{2n} \]

\[ \cos(x) = 1 - \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} - \frac {x^6} {6!} + ... \]

tan(x)のテイラー展開

\[ \tan(x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} + ... \]

arctan(x)のテイラー展開

\[ \arctan(x) = x - \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} - \frac {x^7} {7}... \]

e^xのテイラー展開

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!} \]

極限

様々な極限

\[ \lim_{x \to 0} \frac {\cos(x) - 1} {x} = 0 \]

ロピタルの定理

\[ \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim_{x \to a} \frac {f'(x)} {g'(x)} \]

微分

合成関数の微分

\[ (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x) \]

tan(x)の微分

\[ (\tan(x))' = \frac {1} {\cos^2(x)} \]

sec(x)の微分

\[ (\sec(x))' = \sec(x)\tan(x) \]

csc(x)の微分

\[ (\csc(x))' = -\cot(x)\csc(x) \]

cot(x)の微分

\[ (\cot(x))' = -\csc^2(x) \]

arcsin(x)の微分

\[ (\arcsin(x))' = \frac {1} {\sqrt{1 - x^2}} \]

arccos(x)の微分

\[ (\arccos(x))' = -\frac {1} {\sqrt{1 - x^2}} \]

arctan(x)の微分

\[ (\arctan(x))' = \frac {1} {1 + x^2} \]

a^xの微分

\[ (a^{x})' = a^{x} \ln(a) \]

log_a(x)の微分

\[ (\log_{a}(x))' = \frac {1} {x\ln(a)} \]

ln(x)の微分

\[ (\ln(x))' = \frac {1} {x} \]

e^axの微分

\[ (e^{ax})' = ae^{ax} \]

e^x^2の微分

\[ (e^{x^{2}})' = 2xe^{x^{2}} \]

dy/dxの計算例

\[ 2xy + x^3 - 3y^2 = 5 \] \[ \frac {d} {dx} (2xy + x^3 - 3y^2) = \frac {d} {dx} (5) \] \[ \frac {d} {dx} (2xy) + \frac {d} {dx} (x^3) - \frac {d} {dx} (3y^2) = \frac {d} {dx} (5) \] \[ \frac {d} {dx} (2xy) + 3x^2 - \frac {d} {dx} (3y^2) = 0 \] \[ 2\frac {d} {dx} (xy) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \] \[ 2(\frac {d} {dx} (x) * \frac {d} {dx} (y)) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \] \[ 2(1 * y + x * 1 \frac {dy} {dx}) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (1 * y^2) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (x^0 * y^2) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3(\frac {d} {dx} (x^0) * \frac {d} {dx} (y^2)) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3((0 * y^2) + (x^0 * 2y \frac {dy} {dx})) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3((0 * y^2) + (1 * 2y \frac {dy} {dx})) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3(0 + 2y \frac {dy} {dx}) = 0 \] \[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 6y \frac {dy} {dx} = 0 \] \[ 2y + 3x^2 + 2x \frac {dy} {dx} - 6y \frac {dy} {dx} = 0 \] \[ 2y + 3x^2 + (2x - 6y) \frac {dy} {dx} = 0 \] \[ (2x - 6y) \frac {dy} {dx} = -(2y + 3x^2) \] \[ \frac {dy} {dx} = -\frac {2y + 3x^2} {2x - 6y} \]

定積分の微分の計算例

\[ (\int_{0}^{x ^ {2}} \sin(t) dt)' \] \[ = \frac {d} {dx} \int_{0} ^ {x ^ {2}} \sin(t) dt \] \[ = \sin(x ^ {2}) \cdot \frac {d} {dx} (x ^ {2}) \] \[ = \sin(x ^ {2}) \cdot 2x \] \[ = 2x \sin(x ^ {2}) \]

オイラー法

\[ y_{n+1}= y_{n} + \Delta y_{n} \]

積分

sin(ax)の積分

\[ \int \sin(ax) dx = -\frac {1} {a} \cos(ax) + C \]

sec^2(ax)の積分

\[ \int \sec^2(ax) dx = \frac {1} {a} \tan(ax) + C \]

csc^2(x)の積分

\[ \int \csc^2(x) dx = -\cot(x) + C \]

e^axの積分

\[ \int e^{ax} dx = \frac {e^{ax}} {a} + C \]

1 / (1 + x^2)の積分

\[ \int \frac {1} {1 + x ^ {2}} dx = \tan ^ {-1}(x) + C \]

曲線の長さ

\[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]

y軸周りの回転体の体積(バームクーヘン積分)

\[ V = 2\pi\int_a^b x f(x) dx \]

関数の平均値

\[ \frac {1} {b - a} \int_a^b f(x) dx \]

分数関数の積分

\[ \int \frac {f'(x)} {f(x)} dx = \log |f(x)| + C \]

分数関数の積分の計算例

\[ \int \frac {a} {b(x + c)} dx = \frac {a \ln |x + c|} {b} + C \]

放物線の積分

\[ A = \int_\alpha^\beta \frac {1} {2} r^2 d\theta \]

リーマン積分

\[ \int_a^b \sin(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sin \left(\frac {b - a} {n} i\right)\cdot \frac {b - a} {n} \]

置換積分の計算例

\[ \int \frac {x} {\sqrt{16 - x ^ 2}} dx \] \[ u = 16 - x ^ 2 \] \[ \frac {du} {dx} = -2x \] \[ -\frac {du} {2x} = dx \] \[ \int \frac {x} {\sqrt{u}} \cdot (-\frac {du} {2x}) \] \[ = -\int \frac {1} {2\sqrt{u}} du \] \[ = -\int \frac {1} {2} u ^ {-\frac {1} {2}} du \] \[ = -u ^ {\frac {1} {2}} + C \] \[ = -\sqrt{u} + C \] \[ = -\sqrt{16 - x ^ 2} + C \]

部分積分の計算例

\[ \int x \cos(\pi x) dx \] \[ \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx \] \[ \int u dv = uv - \int v du \] \[ u = x, dv = \cos(\pi x) dx \] \[ du = dx, v = \int \cos(\pi x) dx = \frac {\sin(\pi x)} {\pi} \] \[ \int x \cos(\pi x) dx \] \[ = \frac {x \sin(\pi x)} {\pi} - \int \frac {\sin(\pi x)} {\pi} dx \] \[ = \frac {x \sin(\pi x)} {\pi} - \frac {1} {\pi} \left( -\frac {\cos(\pi x )} {\pi} \right) + C \] \[ = \frac {x \sin(\pi x)} {\pi} + \frac {\cos(\pi x)} {\pi ^ 2} + C \]

微分方程式

微分方程式の計算例

\[ \frac {dy} {dt} = 3y \] \[ \frac {dy} {y} = 3 dt \] \[ \int \frac {dy} {y} = \int 3 dt \] \[ \int \frac {1} {y} dy = \int 3 dt \] \[ \ln |y| = 3t + C \]

分離可能な微分方程式の形

\[ \frac {dy} {dx} = g(x) \cdot h(y) \] \[ \frac {1} {h(y)} dy = g(x) dx \]

複素数

長方形の計算例

\[ |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \]

\[ \theta = \arctan \left ( \frac {b} {a} \right )\ \]

\[ a = |z|\cos{\theta} \]

\[ b = |z|\sin{\theta} \]

偏角

\[ \tan{\theta} = \frac {Im(z)} {Re(z)} \]

複素数の積

\[ z_{1} = r_{1}[\cos{(\theta_{1})} + i \sin{(\theta_{1})}], \ z_{2} = r_{2}[\cos{(\theta_{2})} + i \sin{(\theta_{2})}] \] \[ z_{1} \cdot z_{2} = r_{1}r_{2}[\cos{(\theta_{1} + \theta_{2})} + i \sin{(\theta_{1} + \theta_{2})}] \]

複素数の商

\[ z_{1} = r_{1}[\cos{(\theta_{1})} + i \sin{(\theta_{1})}], \ z_{2} = r_{2}[\cos{(\theta_{2})} + i \sin{(\theta_{2})}] \] \[ \frac {z_{1}} {z_{2}} = \frac {r_{1}} {r_{2}}[\cos{(\theta_{1} - \theta_{2})} + i \sin{(\theta_{1} - \theta_{2})}] \]

複素数のn乗根の計算例

\[ z^{3} = -512, \ 270^{\circ} \le \theta \le 360^{\circ} \] \[ z^{3} = r^{3}[\cos{(3 \cdot \theta)} + i \sin{(3 \cdot \theta)}] \] \[ r^{3}[\cos{(3 \cdot \theta)} + i \sin{(3 \cdot \theta)}] = 512[\cos{(180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ})} + i \sin{(180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ})}]\] \[ r^{3} = 512 \] \[ r = 8 \] \[ 3 \cdot \theta = 180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \] \[ \theta = 60^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \] \[ \ 270^{\circ} \le \theta \le 360^{\circ} \] \[ \theta = 300^{\circ} \] \[ z = r[\cos{(\theta)} + i \cdot \sin{(\theta)}] \] \[ z = 8[\cos{(300^{\circ})} + i \cdot \sin{(300^{\circ})}] \] \[ z = 8\cos{(300^{\circ})} + 8\sin{(300^{\circ})} \cdot i \] \[ z = 4 - 6.928i \]

行列

2×2行列の逆行列

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \] \[ A^{-1} = \frac {1} {ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

(2017/03/24更新)

MarkdownでMathJax

MarkdownでMathJaxを使う場合、ファイルの最上部に

<script type="text/javascript"
    src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML">
</script>

を入力する。

そして、インライン数式の場合は

\\( ... \\)

ディスプレイ数式の場合は

\\[ ... \\]

とする。

バックスラッシュが2つ続くが、htmlに変換するときに1つになり、ちょうどMathJaxの書式に合う。

参考リンク

http://genkuroki.web.fc2.com/

(2016/11/21更新)

ポートフォリオの最適化

ポートフォリオと言えば複数銘柄の保有比率を指すことが多いと思う。だが、ここでは複数戦略への資金の投入比率として考えることとする。

また、ポートフォリオの最適化は一般的には目標リターンを設定した上でリスクを最小化することを指すようである。目標リターンを設定しないなら、期待リターンとリスクの比、つまりシャープレシオの最大化と考えてもいいのだろう。ここではシャープレシオの最大化ということを考える。

ポートフォリオにも過剰最適化のリスク

ポートフォリオの最適化にもバックテストにおけると同様、過剰最適化のリスクがある。例えばバックテスト自体はウォークフォワードテストを行ったとしても、投入比率の決定に全期間を用いたなら、これにはトレードの時点で存在しないデータを使う先読みバイアスのリスクがある。

複数戦略の中に期待リターンがマイナスの戦略があったとする。ポートフォリオの最適化を行うと、その戦略のウェイトは0、あるいはほぼ0になるだろう。また、期待リターンがプラスの戦略においても、期待リターンが大きい戦略ほどウェイトが大きくなる傾向が出てくるだろう。

となると、最適化の結果、負ける戦略は排除され、勝てる戦略のみが残ることになる。だが、戦略のどれが勝ち、あるいは負けるのかということは後になって分かることであり、トレードの時点では知りようがないのだから、このような最適化はパフォーマンスを過大評価する。

もっとも、ウォークフォワードテストでパフォーマンスの良い戦略をポートフォリオに入れ、悪い戦略は入れない、ということは最適化の前に行われているだろう。これも一種の先読みバイアスではある。

等ウェイトも馬鹿にできない

それはともかくとして、ポートフォリオの最適化はウォークフォワードテストと同様、インサンプル期間で行い、パフォーマンスの評価はアウトオブサンプル期間で行うのが先読みバイアスのリスクを少しでも減らす方策の1つだろう。とりあえずそうするとしても、まだ問題がある。

一応、単体でも勝てる戦略であったとしても、比較的短いインサンプル期間では期待リターンがマイナスになることもある。すると、続くアウトオブサンプル期間において、その戦略のウェイトは0、あるいはほぼ0になってしまうと考えられる。果たして、それでよいのだろうか。

調子の良い戦略のウェイトを増やし、調子の悪い戦略のウェイトを減らすのは一見、理に適っているようにも見える。現在の値動きが過去の値動きの影響を受けないなら確かにそうかもしれない。

だが、買い有利の相場と売り有利の相場が交互に来るとか、順張り有利の相場と逆張り有利の相場が交互に来るとかいうことも考えられる。すると、買いで負けたので売りに転換してさらに負けるとか、順張りで負けたので逆張りに転換してさらに負けるとかいった具合で往復ビンタを食らうことにもなりかねない。

実際にこのタイプの最適化を行うと、ある戦略のウェイトがほぼ100%を占めたと思うと、次の期間では別の戦略のウェイトがほぼ100%を占める、といったことがよく起こる。これは、ほぼ100%を占めていた戦略が次の期間ではほぼ0%になっていた、つまり、ほぼ100%の資金を投入した戦略が負けたということであり、ほぼ0%の戦略が次の期間ではほぼ100%を占めていた、つまり、ほとんど資金を投入しなかった戦略が勝ったということである。

その結果、等ウェイトでのパフォーマンスを下回るということも往々にしてある。最適化がかえって劣化をもたらすのである。

逆に何も考えずに等ウェイトでポートフォリオを組むというのはいかにも芸がなく、頭の悪いやり方にも見えるが、意外と等ウェイトでのパフォーマンスを超える最適化というのも難しかったりする。等ウェイトもなかなか馬鹿にできないもので、無理に最適化はせず、等ウェイトでよい、とするのも1つの考え方である。

(2016/11/19更新)