数学ノート

アインシュタイン曰く

本やノートに書いてあることをどうして憶えておかなければならないのかね?

というわけで、よく使われるが、すぐ忘れてしまう公式などを覚えないで済むよう、メモとして残す。

随時追加する。

式の計算

部分分数分解の計算例

\[ \frac {x - 25} {x^{2} + 5x - 24} \] \[ = \frac {x - 25} {(x - 3)(x + 8)} \] \[ = \frac {A} {x - 3} + \frac {B} {x + 8} \] \[ = \frac {A(x + 8)+B(x - 3)} {(x - 3)(x + 8)} \] \[ = \frac {Ax + 8A + Bx - 3B} {(x - 3)(x + 8)} \] \[ A + B = 1 \] \[ 8A - 3B = -25 \] \[ 8A - 3B + 3A + 3B = -25 + 3 \] \[ 11A = -22 \] \[ A = -2 \] \[ -2 + B = 1 \] \[ B = 1 + 2\] \[ B = 3 \] \[ \frac {x - 25} {x^{2} + 5x - 24} = \frac {-2} {x - 3} + \frac {3} {x + 8} \]

図形

正四面体の高さ

\[ h = \sqrt {\frac {2} {3}} a \]

角の二等分線定理

\[ \triangle ABC, \angle DAB = \angle DAC \Rightarrow \frac {AB} {BD} = \frac {AC} {CD} \]

球の表面積

\[ S = 4\pi r^{2} \]

論理

イプシロン-デルタ論法

\[ \forall \varepsilon \gt 0, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \mbox{s.t.} \ n > N \Rightarrow |a_n - L| \lt \varepsilon \]

三角関数

三角関数の性質

\[ \sin{\theta} = \sin{(180^{\circ}-\theta)} \]

\[ \sin{\theta} = \sin{(-180^{\circ}-\theta)} \]

\[ \cos{\theta} = \cos{(-\theta)} \]

加法定理

\[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \]

\[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \]

余弦定理

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \]

シヌソイドの中間線

\[ f(x) = a\sin(bx + c) + d \]

数列

数列の和

\[ S_n = \frac {a_1(1 - r ^ n)} {1 - r} \]

数列の計算

\[ a_n = S_{n} - S_{n-1} \]

分数の数列の和

分数を以下のように変換する。

\[ b < c, \ \frac {1} {(ax+b)(ax+c)} = \frac {1} {(c-b)(ax+b)} - \frac {1} {(c-b)(ax+c)} \]

無限級数

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac {a} {1 - r} \]

テイラー展開

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(a)} {n!}(x - a)^n \]

マクローリン展開

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(0)} {n!}x^n \]

sin(x)のテイラー展開

\[ \sin(x) = x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^7} {7!} + ... \]

cos(x)のテイラー展開

\[ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n)!} x^{2n} \]

\[ \cos(x) = 1 - \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} - \frac {x^6} {6!} + ... \]

tan(x)のテイラー展開

\[ \tan(x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} + ... \]

arctan(x)のテイラー展開

\[ \arctan(x) = x - \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} - \frac {x^7} {7}... \]

e^xのテイラー展開

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!} \]

極限

様々な極限

\[ \lim_{x \to 0} \frac {\cos(x) - 1} {x} = 0 \]

ロピタルの定理

\[ \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim_{x \to a} \frac {f'(x)} {g'(x)} \]

微分

合成関数の微分

\[ (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x) \]

tan(x)の微分

\[ (\tan(x))' = \frac {1} {\cos^2(x)} \]

sec(x)の微分

\[ (\sec(x))' = \sec(x)\tan(x) \]

csc(x)の微分

\[ (\csc(x))' = -\cot(x)\csc(x) \]

cot(x)の微分

\[ (\cot(x))' = -\csc^2(x) \]

arcsin(x)の微分

\[ (\arcsin(x))' = \frac {1} {\sqrt{1 - x^2}} \]

arccos(x)の微分

\[ (\arccos(x))' = -\frac {1} {\sqrt{1 - x^2}} \]

arctan(x)の微分

\[ (\arctan(x))' = \frac {1} {1 + x^2} \]

log_a(x)の微分

\[ (\log_{a}(x))' = \frac {1} {x\log{a}} \]

log(x)の微分

\[ (\log(x))' = \frac {1} {x} \]

e^axの微分

\[ (e^{ax})' = ae^{ax} \]

e^x^2の微分

\[ (e^{x^{2}})' = 2xe^{x^{2}} \]

dy/dxの計算例

\[ 2xy + x^3 - 3y^2 = 5 \]

\[ \frac {d} {dx} (2xy + x^3 - 3y^2) = \frac {d} {dx} (5) \]

\[ \frac {d} {dx} (2xy) + \frac {d} {dx} (x^3) - \frac {d} {dx} (3y^2) = \frac {d} {dx} (5) \]

\[ \frac {d} {dx} (2xy) + 3x^2 - \frac {d} {dx} (3y^2) = 0 \]

\[ 2\frac {d} {dx} (xy) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \]

\[ 2(\frac {d} {dx} (x) * \frac {d} {dx} (y)) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \]

\[ 2(1 * y + x * 1 \frac {dy} {dx}) + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \]

\[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (y^2) = 0 \]

\[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (1 * y^2) = 0 \]

\[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3\frac {d} {dx} (x^0 * y^2) = 0 \]

\[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3(\frac {d} {dx} (x^0) * \frac {d} {dx} (y^2)) = 0 \]

\[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3((0 * y^2) + (x^0 * 2y \frac {dy} {dx})) = 0 \]

\[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3((0 * y^2) + (1 * 2y \frac {dy} {dx})) = 0 \]

\[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 3(0 + 2y \frac {dy} {dx}) = 0 \]

\[ 2y + 2x \frac {dy} {dx} + 3x^2 - 6y \frac {dy} {dx} = 0 \]

\[ 2y + 3x^2 + 2x \frac {dy} {dx} - 6y \frac {dy} {dx} = 0 \]

\[ 2y + 3x^2 + (2x - 6y) \frac {dy} {dx} = 0 \]

\[ (2x - 6y) \frac {dy} {dx} = -(2y + 3x^2) \]

\[ \frac {dy} {dx} = -\frac {2y + 3x^2} {2x - 6y} \]

積分

sin(ax)の積分

\[ \int \sin(ax) dx = -\frac {1} {a} \cos(ax) + C \]

sec^2(x)の積分

\[ \int \sec^2(x) dx = \tan(x) + C \]

csc^2(x)の積分

\[ \int \csc^2(x) dx = -\cot(x) + C \]

e^axの積分

\[ \int e^{ax} dx = \frac {e^{ax}} {a} + C \]

曲線の長さ

\[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]

y軸周りの回転体の体積(バームクーヘン積分)

\[ V = 2\pi\int_a^b x f(x) dx \]

関数の平均値

\[ \frac {1} {b - a} \int_a^b f(x) dx \]

分数関数の積分

\[ \int \frac {f'(x)} {f(x)} dx = \log |f(x)| + C \]

放物線の積分

\[ A = \int_\alpha^\beta \frac {1} {2} r^2 d\theta \]

リーマン積分

\[ \int_a^b \sin(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sin \left(\frac {b - a} {n} i\right)\cdot \frac {b - a} {n} \]

複素数平面

長方形の計算例

\[ |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \]

\[ \theta = \arctan \left ( \frac {b} {a} \right )\]

\[ a = |z|\cos{\theta} \]

\[ b = |z|\sin{\theta} \]

(2017/02/23更新)

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