Ku-Chartとは何か①

Ku-Chart自体は有名なので、定義について議論するようなことはせず、ここではKu-Chartが表している価値が実質的に何であるのかということを考えてみる。

豪ドル、ユーロ、ポンド、円、米ドルの5通貨モデルで、ドルストレートのデータを材料にしてKu-Chartを作成した場合、以下のような計算式になる。

a = (log(AUDUSD) + log(EURUSD + log(GBUSD) - log(USDJPY)) / 5
Ku-AUD = log(AUDUSD) - a
Ku-EUR = log(EURUSD) - a
Ku-GBP = log(GBPUSD) - a
Ku-JPY = -log(USDJPY) - a
Ku-USD = -a

これをさらに分解して計算してみる。

なお、計算過程がくどいが、私は計算過程を省略するのがあまり好きではないので(一歩一歩進めないと自分でも理解できない)、目をつぶっていただきたい。

a = (log(AUD/USD) + log(EUR/USD) + log(GBP/USD) - log(USD/JPY)) / 5
Ku-AUD = log(AUD/USD) - a
Ku-EUR = log(EUR/USD) - a
Ku-GBP = log(GBP/USD) - a
Ku-JPY = -log(USD/JPY) - a
Ku-USD = -a

a = (log(AUD) - log(USD) + log(EUR) - log(USD) + log(GBP) - log(USD) - log(USD) + log(JPY)) / 5
Ku-AUD = log(AUD) - log(USD) - a
Ku-EUR = log(EUR) - log(USD) - a
Ku-GBP = log(GBP) - log(USD) - a
Ku-JPY = -log(USD) + log(JPY) - a
Ku-USD = -a

a = (log(AUD) + log(EUR) + log(GBP) + log(JPY) - log(USD) - log(USD) - log(USD) - log(USD)) / 5
Ku-AUD = log(AUD) - log(USD) - a
Ku-EUR = log(EUR) - log(USD) - a
Ku-GBP = log(GBP) - log(USD) - a
Ku-JPY = log(JPY) - log(USD) - a
Ku-USD = -a

a = (log(AUD) + log(EUR) + log(GBP) + log(JPY) + {log(USD) - log(USD)} - log(USD) - log(USD) - log(USD) - log(USD)) / 5
Ku-AUD = log(AUD) - log(USD) - a
Ku-EUR = log(EUR) - log(USD) - a
Ku-GBP = log(GBP) - log(USD) - a
Ku-JPY = log(JPY) - log(USD) - a
Ku-USD = -a

a = (log(AUD) + log(EUR) + log(GBP) + log(JPY) + log(USD) - log(USD) - log(USD) - log(USD) - log(USD) - log(USD)) / 5
Ku-AUD = log(AUD) - log(USD) - a
Ku-EUR = log(EUR) - log(USD) - a
Ku-GBP = log(GBP) - log(USD) - a
Ku-JPY = log(JPY) - log(USD) - a
Ku-USD = -a

a = (log(AUD) + log(EUR) + log(GBP) + log(JPY) + log(USD) - (5 * log(USD))) / 5
Ku-AUD = log(AUD) - log(USD) - a
Ku-EUR = log(EUR) - log(USD) - a
Ku-GBP = log(GBP) - log(USD) - a
Ku-JPY = log(JPY) - log(USD) - a
Ku-USD = -a

a = ((log(AUD) + log(EUR) + log(GBP) + log(JPY) + log(USD)) / 5) - (5 * log(USD)) / 5
Ku-AUD = log(AUD) - log(USD) - a
Ku-EUR = log(EUR) - log(USD) - a
Ku-GBP = log(GBP) - log(USD) - a
Ku-JPY = log(JPY) - log(USD) - a
Ku-USD = -a

a = ((log(AUD) + log(EUR) + log(GBP) + log(JPY) + log(USD)) / 5) - log(USD)
Ku-AUD = log(AUD) - log(USD) - a
Ku-EUR = log(EUR) - log(USD) - a
Ku-GBP = log(GBP) - log(USD) - a
Ku-JPY = log(JPY) - log(USD) - a
Ku-USD = -a

mean = (log(AUD) + log(EUR) + log(GBP) + log(JPY) + log(USD)) / 5
a = mean - log(USD)
Ku-AUD = log(AUD) - log(USD) - a
Ku-EUR = log(EUR) - log(USD) - a
Ku-GBP = log(GBP) - log(USD) - a
Ku-JPY = log(JPY) - log(USD) - a
Ku-USD = -a

mean = (log(AUD) + log(EUR) + log(GBP) + log(JPY) + log(USD)) / 5
Ku-AUD = log(AUD) - log(USD) - (mean - log(USD))
Ku-EUR = log(EUR) - log(USD) - (mean - log(USD))
Ku-GBP = log(GBP) - log(USD) - (mean - log(USD))
Ku-JPY = log(JPY) - log(USD) - (mean - log(USD))
Ku-USD = -(mean - log(USD))

mean = (log(AUD) + log(EUR) + log(GBP) + log(JPY) + log(USD)) / 5
Ku-AUD = log(AUD) - log(USD) - mean + log(USD)
Ku-EUR = log(EUR) - log(USD) - mean + log(USD)
Ku-GBP = log(GBP) - log(USD) - mean + log(USD)
Ku-JPY = log(JPY) - log(USD) - mean + log(USD)
Ku-USD = -mean + log(USD)

mean = (log(AUD) + log(EUR) + log(GBP) + log(JPY) + log(USD)) / 5
Ku-AUD = log(AUD) - mean
Ku-EUR = log(EUR) - mean
Ku-GBP = log(GBP) - mean
Ku-JPY = log(JPY) - mean
Ku-USD = log(USD) - mean

お疲れ様でした。

私たちは例えば「Ku-AUD」なら「AUD」、あるいは「log(AUD)」そのものではないにしても、その近似値のつもりで使っていると思う。だが、実際には少し違う。

「Ku-AUD = log(AUD)」となるためには「mean = 0」とならなければならないが、もちろん、そのようなことは保証されない。

ところで、「log(AUDUSD) = log(AUD) - log(USD)」であることを考えると

mean = log(MEAN)
Ku-AUD = log(AUD) - mean
Ku-AUD = log(AUD) - log(MEAN)
Ku-AUD = log(AUDMEAN)

となる。

つまり、構成する通貨の平均をクウォート通貨と見なす一種の通貨ペアと考えたほうが実態に近いかと思う。あるいは通貨平均乖離率と考えるほうが分かりやすいかもしれない。

どうでもいいことだが、常に「mean = 0」となるためには「log(1) = 0」であるから常に「MEAN = 1」である必要がある。

それはさて、例えばKu-Powerを組み合わせて

Ku-AUD - Ku-USD = log(AUDUSD)

とすることができるが、こういう性質もあたかも「Ku-AUD = log(AUD)」、あるいは「Ku-USD = log(USD)」であるかのような錯覚を起こしやすい。

だが、これは

Ku-AUD - Ku-USD = log(AUDUSD)
log(AUD) - log(MEAN) - (log(USD) - log(MEAN)) = log(AUDUSD)
log(AUD) - log(MEAN) - log(USD) + log(MEAN) = log(AUDUSD)
log(AUD) - log(USD) - log(MEAN) + log(MEAN) = log(AUDUSD)
log(AUD) - log(USD) = log(AUDUSD)

となって、余計な「log(MEAN)」を相殺してくれるからである。

Ku-Chartの有用性についてどうこう言うつもりはない。有用だと言う人はそれをうまく使っており、有用でないと言う人はそれをうまく使えていないだけのことだ。だが、Ku-Chartが表している価値は実質的にはこういうものであるということは頭に入れておいて損はないだろう。

(2016/12/28更新)

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